学ぶに勝る楽しみは無し
osamu-ichiyoshi@muf.biglobe.ne.jp
2020/12/12 13:01
宛先 市吉修 CC Mitsu Utamura その他53件の宛先
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四元ベクトル論
と題する小論をHPにupしましたのでよろしければご覧下さい。
http://www5e.biglobe.ne.jp/~kaorin57/Quarternion%20Vector%20theory.pdf
私は高校で複素数とベクトルを習った時に非常な面白みを覚えました。数を実数から複素
数の範囲に広げると二次方程式には必ず解がある事、グラフ上では解が見えないのに複素
数として必ず解がある事に神秘を感じました。大学では更にF. Gaussが確立した代数学の
基本定理、即ち任意の次数nのn次方程式は複素数の範囲でn個の根を持つという定理に
感激しました。
複素数は二次元なのに対してベクトルは一、二、三次元で定義され、その乗算には内積と
外積がある事に不思議を感じました。私は通信工学を専攻して無線通信の技術者になりま
したが、複素数とベクトルは仕事で無くてはならないものなので今や自分の体の一部のよ
うに感じています。通信工学で扱う信号は複素数の時間関数ですがそれぞれを一つのベク
トルと考える事ができます。信号の数には制限はありませんので干渉波相殺論に於いては
多次元の複素ベクトル空間として検討する事ができます。ご興味があれば下記URLをご覧
下さい。
宇宙ロケットは動いているのでその機体の座標系は宇宙の慣性座標系に対して刻一刻と変
化します。ロケットの姿勢の変化は搭載された加速度センサにより検出できますが、ロケ
ットの姿勢制御を行うためには機体系から慣性系の座標変換が必要です。三次元空間にお
けるベクトルの回転を簡潔に表現するにはW. R. Hamiltonが発明した四元数が便利です。
これは複素数の四次元への拡張と見る事もできます。
私は実空間におけるベクトルの回転を複素数を使わずに表現したいと思って検討していた
ら今回のように簡潔に表現する事ができました。複素関数ではL. Eulerにより確立された
虚数の指数関数が有力な道具ですが、それに習ってベクトルの指数関数を定義する事が出
来ました。これは実ベクトルの関数なのに虚数のようにふるまうものです。
ベクトルによって色々な問題を簡潔に捕える事ができます。人が力を合わせるには同じ方
向に力を合わせるのが最も効果的なのは自明の理です。
高校でベクトルを習った時には三平方の定理をいとも簡単に証明できるのに感動しました。
三角形ABCはベクトルで書くと
[AB> + [BC> + [CA> = 0
となります。但し[AB>は点AからBに向かう矢印即ちベクトルです。
これを書き換えると
[AC> = - [CA> = [AB> + [BC>
両辺を2乗すると
(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 + 2(AB).(BC).cos(θ) (余弦定理)
但し(AC)はベクトル[AC>の大きさであり、θはベクトル[AB>と[BC>の成す角です。
ここで三角形ABCが直角三角形即ちθ=π/2 (90度)の時は
(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2
即ち三平方の定理(ピタゴラスの定理)が証明されました。
もう一つの例
任意の四角形ABCDを描き、辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれE,F,G,Hとすると四角
形EFGHは必ず並行四辺形になる。
これは四辺形ABCDについて
[AB> + [BC> + [CD> + [DA> = 0
更に
[EF> = { [AB> + [BC> } / 2
[GH> = { [CD> + [DA> } /2
より
[EF> + [GH> = 0
即ち
[EF> = - [GH> = [HG>
つまり辺EFとHGは並行になります。同様にしてEHとFGの並行を示す事ができます。
この定理はベクトルを使わずに証明するのはもっと難しいのではないでしょうか。
雪道での移動方法
札幌も来週から雪になるようです。雪が根雪になれば往来の踏み固まった道路は自転車で
も足車(キックボードの車輪を台車用のものにしたもの)でも楽に且つ迅速に移動できます
が、問題は柔らかな積雪です。足車が雪にめり込んでとても重くなります。
どんな時にも頼りになるのは自分の両足を使った歩きです。楽にかつ速く歩く方法を色々
試した結果、踵すり足法を実践しています。これは無駄な上下運動を省いて楽に歩く事が
できます。更に速く歩くには体の重心を前に置きますと自然に早足になります。
いよいよ冬も本格化しますが、新型コロナウィルスは零下の温度環境では水分が凍って
破壊されるのではないかと期待しています。
時に自分の手に余るとも研究すべき事が多々あるのは私には楽しみになっています。
世の中に
楽しみの道 多々あれど
学ぶに勝る 楽しみは無し
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+ 市吉 修
+ 二十一世紀を楽しく生きよう会
+ HP ; http://www5e.biglobe.ne.jp/~kaorin57/
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