ベクトル・スカラー環代数論

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2023/01/08 21:02

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ベクトル・スカラー環代数論

と題するメモをHPにupしましたのでよろしければご覧下さい。

スカラー(scalar)とは大きさだけあるもので普通の数で表されるものです。それに対してベクトル

(vector)とは大きさと向きがあるもので矢印で表されます。矢印の長さが大きさを表します。

数として原始人は1,2,3,,,の自然数しか知らなかったでしょうが文明の発生と発展に伴い、分数、負数、

有理数、無理数、実数と数の範囲が広がりました。更にi^2 = i x i = -1なる虚数が考えられました。

そして実数x,yを用いてz = x + y.iで表される複素数が定義されました。実は虚数に対しては数学者の間

でも受け入れるのに長い間抵抗がありました。3^2 = 3 x 3ですが 3^iとかi^iはどんな意味があるのか

数学的に分からなかったからです。

Eulerの公式　　cos (θ) + i.sin(θ) = e^(iθ)

特にθ = π/2の場合は　i = e^(iπ/2)　　　

　　θ = πの場合は　-1 = e^(iπ)　

を用いると

3^i = e^(log3).i　= cos (log3) + i. sin(log3)

i^i = (e^((π/2.i).i) = e^(-π/2)

4元数

虚数を一個から三個に拡大して四元数が定義されました。実数x0, x1, x2, x3に対して

　　[x] = x0 + x1.i + x2.j + x3.k

i, j, kは虚数です。即ち　i^2 = j^2 = k^2 = -1

ベクトル・スカラー環

四元数に対してi,j,kを実ベクトル[i>, [j>, [k>で置き換え

　　[z] = z0 + z1.[i> + z2.[j> + z3.[k>

としたものが今回のテーマです。z0はスカラー、[z> = z1.[i> + z2.[j> + z3.[k> = (z1, z2, z3)はベクトル

です。

本論文の特長は上の各成分は複素数でもあり得る事です。

即ち実数x, yを成分とする複素数　zn = xn + i.yn 　　(n=0,1,2,3)

このように本論文のものはベクトル、スカラー、複素数を統合するものです。

ご興味のある方はぜひ一読の上、ご意見をお寄せ下さい。

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+ 市吉修

+ 二十一世紀を楽しく生きよう会

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