複素ベクトル.スカラー環代数論
To: 2023/07/01 14:46
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複素ベクトル.スカラー環代数論
と題する小論をHPにupしましたのでよろしければご覧下さい。
http://www5e.biglobe.ne.jp/~kaorin57/Complex%20Vector-Scalar%20Ring%20theory%20.pdf
複素数とベクトル
皆様は高校数学で複素数とベクトルを習った時に両者の類似に気づかれた事と思います。
複素数
z = x + y.i = (x,y)
x,yは実数
iは虚数 i^2 = i x i = -1 即ち二乗が負となる。
ベクトル
w= (u, v)
uはx成分、vはy成分
共通するのは両者とも矢印で表現できる事でした。
加法は
複素数
z1+ z2 = (x1,y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
ベクトル
w1 + w2 = (u1,v1) + (u2,v2) = (u1+u2, u2+v2)
両者とも矢印で描けば平行四辺形の法則になります。
しかし似ているのはここまでです。
改めてベクトルとスカラーについて定義しますと
ベクトルは大きさと空間的な方向がある。通常矢印で表現する。
スカラーは大きさのみがあり方向は持たない。
この定義では複素数はスカラーになります。それは空間の中には方向がありませんから。
複素数とベクトルの違いは更にあります。
(1) 複素数は二次元までしかない。
というより二次元ですべて用が済む。
例えば任意のn次数方程式は複素数の範囲でn個の根rを持つ。
x^n + a[n-1].x^(n-1) + ,,,,,,+ a[1].x + a[0]
= ( x - r[n-1] ). ( x - r[n-2] )...( x - r[1] ). ( x - r[0] )
(代数学の基本定理)
(2) ベクトルには内積と外積の二種類の積がある。
大きさ1のベクトルu,vの成す角をθとすると
内積 (u.v) = cos(θ) スカラー
外積 u x v = sin(θ) ベクトル、向きはベクトルuからvの方向に回した時右ネジの進む方向
四元数
これは複素数の虚数を i, j, kの三個に拡張して実部と合わせて4次元の拡張版複素数論です。その主た
る応用は三次元空間におけるベクトルの回転の計算にありますので虚数を使わずにすべて三次元のベク
トルで用を済ませようというのが本論の趣旨です。
複素ベクトル.スカラー環
空間的には三次元の実ベクトルを用いますが、それにかかる係数は複素数でも構わないので自然に複素
ベクトル.スカラー環代数論を構築する事ができます。
なかなか簡単に説明するのは困難ですが読んでもらえば分かると思います。
何故学ぶのか
毎週木曜日に近くの団地で外国人の子供達の勉強を見ています。小学生は一生懸命漢字の書き取り、朗
読、算数をやっていますが中学生は数学を何の役に立つのか分からないと称してスマホばかり見ていま
す。それは中学生の知識の範囲で考える限りはそうかも知れませんね。
国際的な場で仕事をすれば英語の必要性は直ちにわかりますが、同様に私は会社で開発部に配属された
時に数学の有用性を実感しました。複素数とベクトルは無線通信技術者には自分の体の一部のようなも
のです。
多次元ベクトル空間
通常の空間は三次元ですが、ベクトル空間の概念は多次元、無限次元まで拡張して色々な用途がありま
す。
(1) 弦楽器は最低の音(基底波)とその整数倍の高調波により色々な音を発生します。基底波とその高調波
の重なりは多次元空間のベクトルとして扱う事ができます。
(2) 音声符号器
人間の耳には50Hz以下は音として聞こえません。そこで20ms毎に音声を区切ってその基底波と高調波
より成る空間のベクトルとして音声や楽音の符号化処理を行います。
(3) 信号空間
n個の独立した源から来る信号の重なりはn次元空間のベクトルとして扱う事ができます。雑音相殺等
に応用されています。
(4) 原子は基底波とその無限個の高調波(整数倍ではない)levelを持つ共鳴器のようなものです。各level
の状態(波動関数)は互いに直交しているので原子の内部状態は無限次元のベクトル空間に等価です。
このように高校で習う複素数とベクトルは色々な分野の技術の基礎となっています。
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+ 市吉 修
+ 二十一世紀を楽しく生きよう会
+ HP ; http://www5e.biglobe.ne.jp/~kaorin57/
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