分散分析の下位検定について

石田　翼

1998年10月26日

交互作用の下位検定

4種類の方法（Jaccard, Turrisi & Wan, 1990, 11-14; Rosnow & Rosenthal, 1995）

• 単純主効果 (simple main effect)
• interaction comparisons
• interaction contrasts
• Rosnow & Rosenthalの方法

単純主効果検定

単純主効果検定とは，交互作用が出た場合にそのうちどれかのの要因（単数また は複数）の水準毎に，その他の要因の効果を検定する手法である．しかしその際 に使用する誤差項は場合によって異なる（宮本・山際・田中, 1991）．

さらに「水準別誤差項」（individual error terms / separate error terms） と「プールされた誤差項」（pooled error terms）と呼ばれる2つの対立する立 場がある．

どちらにしても基本的にはデータを分割しての分散分析であるので，まずは分割 する要因によってデータセットを分割し，それぞれ普通に分散分析を行う（＊）． その後必要であれば適切な誤差項をもとに改めて$F$値と$p$値を算出する．

誤差項の選択

1. 全体の分散分析において，以下の誤差項がどれであるかをまず確認する．
   • 有意になった,対象となる交互作用の誤差項
   • その交互作用に含まれている要因のうち，単純主効果検定におい て検定される要因の誤差項

2. これらの誤差項が

   同一

   その誤差項を単純主効果の検定に用いる．したがって上記 の（＊）で行った分散分析の誤差項を全体の分散分析の表 のその誤差項に置き換え，改めて$F$値と$p$値を算出する．

   同一でない

   上記の二つの立場によって異なる．

   水準別誤差項

   分割して算出された誤差項を用いる． つまり（＊）の結果をそのまま採用してよい．

   プールされた誤差項

   それら一致しない誤差項の平 方和の総和を．それら誤差項の自由度の総和 で割った値を誤差の平均平方和として用いる． さらに自由度の調整（Winer, Brown & Michels, 1991, 530-531）または修正された $F$分布表を用いる必要などがある（Kirk, 1982, cited in 宮本ら, 1991）．

   この二つの立場は，どちらもそれなりに理論的妥当性があり，宮本ら （1991），Keppel（1991）などは前者を支持し，Winer（1991），Kirk （1982, cited in 宮本ら, 1991），小牧（1995）などは後者を支持して いる．ここでは手続きの簡便さから水準別誤差項を勧めておく ¹．

単純主効果検定の問題点

必ずしも交互作用の全ての性質を明確にできるわけではない（OHP参照）．

Interaction Comparisons

幾つかのより簡単な交互作用に分割し，それぞれの交互作用を検定する手法であ る．しかし検定する交互作用の数が組み合わせ爆発的を起こすので，検定の多重 性が問題になる．多重比較の手法（Bonferroni/Holm法など）を用いたり （Jaccard et al., 1990, 13），単純主効果検定を行ってから実行する （Keppel, 1991, 248-249）などの対応法が提案されている．またプールされた 誤差項の立場では，この場合どのような誤差項を用いるかの選択は明らかではな い．

Interaction Contrasts

直交対比（orthogonal contrasts）を用いる手法である．代表的なものとして trend analysis（Keppel, 1991, 141-162）がある．検定の多重性が問題になる ようならばSheffeの方法やBonferroni系の手法で多重比較を行うが，直交対 比では多重性を問題にしないという立場もある（Keppel, 1991）．

問題点としては，自分の検証したい仮説が常に直交比較の形に表せるとは限らな いことが挙げられる．

Rosnow & Rosenthalの手法

平均間の大小関係についての仮説を，対比を用いて検定する手法である （Rosnow & Rosenthal, 1989）．

例えば$2 ¥times 2$の

$a$	$b$
$c$	$d$

というデータにおいて，$a<b<c=d$という大小関係に関する仮説があった場合， それぞれに $-¥frac{3}{4},-¥frac{1}{4},+¥frac{1}{2},+¥frac{1}{2}$という重 み付けを行い対比を計算する手法である．

主効果の下位検定

多重比較とは

検定の多重性を回避する検定手法の総称．主効果の下位検定の手法を含むがそれ だけではない（Bonferroni法とそのヴァリエーションなど）．

検定の多重性

危険率$¥alpha$の検定を複数回繰り返すと，全体の危険率が$¥alpha$以上になっ てしまう現象．危険率$¥alpha$の検定を$n$回繰り返した場合，全体の危険率を $¥alpha_{all}$とすると $¥alpha_{all}=1-(1-¥alpha)^{n}$が成立する．よって 例えば$¥alpha=.05$の検定を3回繰り返すと $¥alpha_{all}=1-(1-.05)^{3}=0.142625$となり，全体の危険率は10%をはるか に超える．よってこの3回の検定の結果全体を「5%有意」と言えなくなってしま うのである．

多重比較は基本的には$n$に応じて$¥alpha$を低く設定することによって， $¥alpha_{all}$を一定以下に維持する手法である．つまり$n$が多くなるほど一 つ一つの検定では有意差はでにくくなる²．したがって 多重比較の際には，検定を行う回数 を最小限にする必要がある．事前に群間条件間で理論的にある種の論理関係 （統制群とその他，大小関係など）が仮定できるならば，それを積極的に利用し て比較の回数を最小限にする．

不適切な多重比較の手法（永田・吉田, 1997, 31-32）

• $t$検定の繰り返し
• LSD法
• Duncanの手法

4水準以上の比較の場合は以下の手法も不適切である．

• FisherのLSD法³
• Newman-Keulsの手法

また被験者内要因の下位検定として，後述する多重比較の手法（除Bonferroni法 やHolm法）を用いるのは不適切である（Abacus Concepts, 1989, 213）．そのよ うな場合は対比を用いる．しかしその不適切さを黙認する立場もある．

どのような場合にどのような多重比較の手法を用いるか

統制群／実験群（複数，大小関係あり）

統制群と実験群があり，さらに仮説から実験群の間に大小関係が仮 定できるような場合には，Williamsの手法（永田・吉田, 1997, 45-52）を用いる．

統制群／実験群（複数）

統制群と実験群が存在する場合は，Dunnetの 手法を用いる．信頼区間が必要なければDunnetの逐次棄却型検定 （永田・吉田, 1997, 125-129）の方がよい．

検定の回数を特定できる

事前に仮説などからどの比較を行うか決定でき て検定の回数が特定できる場合には，Bonferroniの手法（Holland & Copenhaver, 1988）．信頼区間が必要なければHolmの手法 ⁴．

全てのペアの組み合わせを比較する場合

TukeyのHSD．信頼区間が必要 なければTukey-Welsh法（永田・吉田, 1997, 107-116）やPeritz （永田・吉田, 1997, 116-123）の方がよい．

全ての対比の組み合わせを比較する場合

Sheffeの手 法．

被験者内要因の下位検定の際に用いられる誤差項の選択

上記の「水準別誤差項」の立場では，被験者内要因での比較の際に用いる誤差項 は，比較に投入する水準のみを用いて再計算した誤差項を用いる（Keppel, 1991, 356-357, 380-383）．つまり重み付けが0の水準は除いて新たに誤差項 を計算する．

各統計パッケージの対応

上で紹介した各手法について，この研究室で使用可能なSAS 6.12，SPSS 7.5 advanced statistics，SuperANOVAの各統計パッケージでの対応状況を紹介する （高橋ら, 1989; SPSS Inc., 1997; Abacus Concepts, 1989）．

• TukeyのHSD，Dunnet，Sheffeの各手法は全てのパッケージで対応さ れている．
• Holmの手法に対応したパッケージはないが，手続きはかなり簡便なので 手計算でも問題はない．手続き自体はHolland & Copenhaver（1988）や 永田・吉田（1997）を参照．
• Tukey-Welsh法はSASではREGWF，SPSSではFREGWというキーワードで使用 可能である⁵．
• Williamsの手法・Peritzの手法・Dunnetの逐次棄却型検定に対応したパッ ケージは見当たらないが，計算の手続き自体は永田・吉田（1997）に詳 しく説明されている．
• 対比はどのパッケージも対応している．特にtrend anlysisについては， SPSSは``POLYNOMIAL''というキーワードで，SuperANOVAは``Contrasts →Orthogonal Polynomials''で自動でやってくれる．

参考文献

1

Abacus Concepts (1989) SuperANOVA. Berkeley, CA: Abacus Concepts.

2

Holland, B. S., and Copenhaver, M., (1988) Improved Bonferroni-type multiple testing procedures. Psychological Bulletin, 104, 145-149.

3

Jaccard, J., Turrisi, R. and Wan, C. K. (1990) Interaction Effects in Multiple Regression. Sage University Paper series on Quantitative Application in the Social Sciences, 07-072. Newbury Park, CA: Sage.

4

Keppel, G. (1991) Design and Analysis--A Rsearcher's Handbook. (3rd. ed.) NJ: Prentice-Hall.

5

小牧　純爾 (1995) 『データ分析法要説--分散分析を中心に--』． ナカニシヤ出版．

6

宮本　友弘・山際　勇一郎・田中　敏 (1991) 要因計画の分散分析 において単純主効果検定に使用する誤差項の選択について． 心理学研究，62，207-211．

7

森　敏明・吉田　寿夫編 (1990) 『心理学のためのデータ解析テク ニカルブック』．北大路書房．

8

永田　靖・吉田　道弘 (1997) 『統計的多重比較法の基礎』．サイ エンティスト社．

9

Rosnow, R. L., and Rosenthal, R., (1995) ``Some things you learn aren't so'': Cohen's paradox, Asch's paradigm, and the interpretation of interaction. Psychological Science, 6, 3-9.

10

SPSS Inc. (1997) SPSS Advanced Statistics 7.5. Chicago, IL: SPSS Inc.

11

橘　敏明 (1986) 『医学・教育学・心理学に見られる統計的検定の 誤用と弊害』．医療図書出版．

12

高橋　行雄・大橋　靖雄・芳賀　敏郎 (1989) 『SASによる実験デー タの解析』SASで学ぶデータ解析5．東京大学出版会．

13

Winer, B. J., Brown, D. R. and Michels, K. M. (1991) Statistical Principles in Experimental Design. (3rd. ed.) NY: McGraw-Hill.