数学の楽しみ　掛け算

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2023/10/07 12:08

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私は週2回地域の団地で子供の学習を見ています。

小学生が一生懸命に掛け算の問題をやっていますが、それは私にも色々学ぶ所があります。

(1) 足し算の拡張としての掛け算

　私は小学校2年で習った時に足し算を速く計算するための方法として理解しました。　

　　5+5+5+5 +5 = 5 x 5 = 25

(2) 面積の計算

　縦a(m), 横b(m)の畑の面積は　axb = a.b (m^2)

即ち線から面へ次元が変わります。掛け算の意味が大きく拡張されました。

(3) 零

数aに対して　a - a = 0 として0を定義しますと　a + 0 = a, a x 0 = 0　等の算法が導かれます。

零の発明により百五　足す　二百三十五は　105 + 235 = 340　というように数の表現と筆算が簡単になります。

(4) 負数

〇の発明により　a + x = 0　となる　x = 0 - a = -a として負の数が定義されます。

1 + (-1) = 0は明らかですが　1 x (-1)はどうなるでしょうか。

縦a-b, 横c-dの長方形の面積は

　(a-b) x ( c-d) = a x c + 1 x (-1) x( a x d) + (-1) x1 x( b x c) + (-1) x (-1) x (b x d)

図を画くと分かるように

　　1 x 1 = 1, 1 x (-1) = -1 , (-1) x (-1) = +1

(5) 実数

　負数 x 負数は正数になる事から実数aとは　a x a = a^2 > 0となる数です。

(6)虚数

二次方程式　a.x^2 + b.x + c = 0　の根は　x = { - b + - √(b^2 - 4a.c) } / 2a 　です。

問題は　(b^2 - 4a.c) < 0　の場合です。√の数を二乗したら負になるのですから実数の範囲では解がありません。

そこで虚数　i　なるものを考え i x i = i^2 = -1と定義するとすべての場合に二次方程式は解けます。

(7)複素数

　実数　x,　y に対して　z = x + i.y を複素数と言います。

複素数の範囲でn次方程式はn個の解を持つ(代数学の基本定理)

ところで掛け算　i.yの意味は何でしょうか。

複素数　z = x + y.i と w = u + v.i　の掛け算は

　　z. w = ( x + y.i) . ( u + v.i) = x.u + i.x.v + i. y.u + i.i.y.v

= x.u - y.v + i.(x.v + y.u)

即ち複素数になります。

上の計算で用いたのは　i x i = i^2 = -1だけです。

即ち実数と虚数の積はそのままで何等それ以上の意味はありません。　　

実数と虚数の掛け算は実数 a に虚数 i をべたっと張り付けたようなものです。

全く性質の異なるものの掛け算とは物にラベルを貼るようなものだと思います。

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+ 市吉修

+ 二十一世紀を楽しく生きよう会

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