アナログフィルタの離散時間差分方程式による数値計算式
2次のLPF 伝達関数 $G(s)$
\[ G(s) = \frac{a_2}{s^2+a_1s+a_2} \]
\[ x_1((k+1)T) = e^{-\frac{a_1}{2}T}(cos(\omega T)+\frac{a_1}{2\omega}sin(\omega T))\cdot x_1(kT)-\frac{a_2}{\omega}e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T)\cdot x_2(kT)+( (a_1(1-e^{-\frac{a_1}{2}T}cos(\omega T))+\frac{a_2-\frac{a_1^2}{2}}{\omega}e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T) )\cdot u(kT) \]
\[ x_2((k+1)T) = \frac{1}{\omega}e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T)\cdot x_1(kT)+e^{-\frac{a_1}{2}T}(cos(\omega T)-\frac{a_1}{2\omega}sin(\omega T))\cdot x_2(kT)+( 1-e^{-\frac{a_1}{2}T}(cos(\omega T)+\frac{a_1}{2\omega}sin(\omega T)) )\cdot u(kT) \]
\[ y(kT) = x_2(kT) \]
但し、$ \omega = \sqrt{a_2-\frac{a_1^2}{4}} $
2次のBPF 伝達関数 $G(s)$
\[ G(s) = \frac{a_2s}{s^2+a_1s+a_2} \]
\[ x_1((k+1)T) = e^{-\frac{a_1}{2}T}(cos(\omega T)+\frac{a_1}{2\omega}sin(\omega T))\cdot x_1(kT)-\frac{a_2}{\omega}e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T)\cdot x_2(kT)+( -1+e^{-\frac{a_1}{2}T}cos(\omega T)+a_1e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T) )\cdot u(kT) \]
\[ x_2((k+1)T) = \frac{1}{\omega}e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T)\cdot x_1(kT)+e^{-\frac{a_1}{2}T}(cos(\omega T)-\frac{a_1}{2\omega}sin(\omega T))\cdot x_2(kT)+( e^{-\frac{a_1}{2}T}sin(\omega T) )\cdot u(kT) \]
\[ y(kT) = x_2(kT) \]
但し、$ \omega = \sqrt{a_2-\frac{a_1^2}{4}} $
1次のLPF 伝達関数 $G(s)$
\[ G(s) = \frac{1}{s+1} \]
\[ x((k+1)T) = e^{-T}\cdot x(kT)+(1-e^{-T})\cdot u(kT) \]
\[ y(kT) = x(kT) \]
1次のHPF 伝達関数 $G(s)$
\[ G(s) = \frac{s}{s+1} \]
\[ x((k+1)T) = e^{-T}\cdot x(kT)+(1-e^{-T})\cdot u(kT) \]
\[ y(kT) = -e^{-T}\cdot x(kT)+e^{-T}\cdot u(kT) \]