近況報告 我流Lorentz変換の導出
2021/04/24 14:14
宛先 市吉修 その他53件の宛先
転送歓迎
配信不用の場合はお手数ですが返信にてお知らせ願います。
二十一世紀人世研究会は人が全国どこでも学び、働き、生涯元気に生活できる世界を研究する会です。
返信または全員に返信により皆様の情報交換をお願いします。研究しながら二十一世紀を楽しく生きま
しょう。
今週三か月ぶり
に神奈川の自宅に帰りました。庭は一面雑草に覆われていましたが取り除いて行くと所々にジャガイモ
が芽を出しています。それらを再配置して植える事により多少庭の畑も賑やかになりました。
長く留守にしていると色々な事に気づきます。自動車はちゃんと動きましたがラジオは電源が入らない
ものがあります。何回もスイッチをカチャカチャやっていると次第に入るようになります。どうもスイ
ッチがさび付いているようです。ところが一旦電源が入ると後は正常に働きます。電話機も同様な状況
です。機械は少しずつでも毎日使うのが長持ちさせるコツですね。人の心身も同じだなと感じます。
特殊相対性理論
滅多に読みませんが岩波文庫の「アインシュタイン 相対性理論 内山龍雄訳、解説」はいつも持ち歩
いています。これは1905年の「運動体の電気力学」の日本語訳と解説です。高校レベルの数学の知識が
あれば鉛筆片手に読むとこの論文はとても分かり易いものです。相対性理論については小出昭一郎著「物
理学」の解説も見事で極めて自然にLorentz変換が導かれています。その他本屋に行くと相対性理論の
解説書は無数にありますね。しかし他人の書いたものを読んでもどうも分かった気がしないので私なり
に導いて見ました。
光速一定の原理
実験によって確立された真空中の光の速度は観測者の運動状態によらず常に一定であるという事実を原
理に据えて相対性理論は構築されています。即ちc = 3 x 10^8(m/s).
これは光を粒子のように考えると理解不能ですが波として考えると納得できます。電磁界の基礎を成す
Maxwellの方程式からc= 1/√(ε.μ)となります。但しεは真空の誘電率.μは透磁率です。真空の物理的
性質は観測者の運動状態に依らない事は私にはとても自然な事に感じられます。
ガリレイ変換
二つの観測系KとK’がありK’はKに対してx軸方向に速度vで等速に移動しているものとします。
観測系KとK’の時間及び空間座標をそれぞれ(t,x), (t’,x’)とします。古典物理学のガリレイ変換とは
x’ = x – v.t
t’ = t
です。これは日常生活では全く当然な関係です。空間と時間は全く独立です。しかしこれは上述の光速
一定という事実に合いません。
Lorentz変換
そこでガリレイ変換を少し変えて
x’ = α(v). ( x – v.t ) (1)
t’ = β(v). ( t –γ(v).v.x ) (2)
とします。α(v), β(v), γ(v) はvに依存する定数です。
今 t= t’= 0にx = x’= 0から一瞬の閃光が発生したとします。同時にK’系はK系に対して速度v
で等速移動を開始します。閃光は両観測系K, K’ではどのように観測されるでしょうか。
光速一定の原理から閃光の位置はそれぞれの観測系でx = c.t, x’= c.t’になる筈です。
x’ = α(v). (c – v).t (3)
t’ = β(v). ( 1 – γ(v).v.c ).t (4)
これより
α(v). (1 – v/c) / {.β(v). ( 1 – γ(v).v.c ) } = 1 (5)
今vが非常に小さい場合を考えると近似的に
x’ (= ) α(v). c.t
t’ (= ) β(v).t
より
x’ (= ) α(v). c.t = α(v)/ β(v). c.t’ = c.t’
即ち
α(v) = β(v) (6)
すると(5), (6)より
γ(v) = 1/c^2 (7)
となります。
相対性原理
上の関係ではKが静止系、K’が運動系ですがvを-vで置き換えると反対になります。
x = α(- v). ( x’ + v.t’) = α(- v). ( c + v).t’ (8)
t = β(-v). ( t’ + γ(-v).v.x’ ) = β(-v). ( 1 + γ(-v).v.c) t’ (9)
ここで静止系と運動系を入れ替えても物理法則は関係無い筈ですから
α(- v) = α( v), β(-v)= β(v), γ(-v)=γ(v) (10)
となる筈です。
以上を整理すると
x’ = α(v). ( x – v.t ) (11)
t’ =α(v). ( t – v/c^2.x ) (12)
x = α(v). ( x’ + v.t’ ) (13)
t = α(v). ( t’ + v/c^2.x’ ) (14)
式(11)-(14)より
α(v)= 1 / √(1 - (v/c)^2) (15)
以上よりLorentz変換が求まりした。
x’ = (x –v.t) / √(1 - (v/c)^2) (16)
t’ = (t – v/c^2.x ) / √(1 - (v/c)^2) (17)
及び
x = (x’ + v.t’) / √(1 - (v/c)^2) (18)
t = (t’ + v/c^2.x’ ) / √(1 - (v/c)^2) (19)
新型コロナ予防について
人流を断てと首都圏と関西の大都市圏に緊急事態が宣言されました。本当に断つべきは感染経路であっ
てそれを実践しているという山梨県の感染数は確かに少ないですね。
何週間も自宅に息を殺して止まるのは運動不足と閉塞感から免疫力を落とす努力をするようなものです。
今は年間で最高の季節ですから時々自転車や徒歩で川や海、山野に出かける事や仕事の合間を見て自宅
の掃除や庭仕事で大いに体を使う事をお勧めします。昼に十分心身を動かしてこそ夜は十分睡眠をとる
事ができます。
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ 市吉 修
+ 二十一世紀を楽しく生きよう会
+ HP ; http://www5e.biglobe.ne.jp/~kaorin57/
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++