Re: ベクトルの逆数とは

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To: 2021/11/07 21:12

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ょう。

ベクトルとスカラー

半世紀前に高校で習った時に非常に新鮮に感じました。ベクトルとは方向と大きさを持つものであり、

スカラーとは量のみ持つものです。スカラーは普通の数だと考えればよいでしょう。加減乗除の演算を

行う事ができます。

これに対してベクトルは大きさだけでなく方向があるので矢印で表現できます。私が面白いと思ったの

はベクトルには二種類の乗算がある事でした。スカラー積とベクトル積です。ベクトルA,Bについて

スカラー積　　　　　A.B = (A).(B).cos(θ)

ただし(A), (B)はベクトルA,Bの大きさです。θはベクトルA, Bのなす角です。

これに対して

ベクトル積　　　　 A x B = (A).(B).sin(θ)[c>

はベクトルになります。但し[c>はベクトルaからbの方向に回転した時右ネジの進む方向を持つ大きさ

1のベクトルです。

逆数

　　　実数xの逆数は1/xです。即ち　x・(1/x) = 1

それでは　ベクトルXの逆数は何でしょうか。大きさと方向を持つベクトルの逆数はどう考えればよい

でしょうか。何よりベクトルには二種類の乗算があります。

ベクトルスカラー乗算

ベクトルX,Yの乗算として

　　X (x) Y = X x Y - X.Y

なるものを考えます。

更にスカラーxとベクトルXからなるベクトルスカラー(四元数ベクトル)なる量を考えます。

　　[x] = x + X

その共役として

[x]* = x - X

を定義すると

　[x]* (x) [x] = x^2 + (X)^2

となります。

そこで[x]の逆数は

　　1/[x] = [x]* / (x^2 + (X)^2)

になります。

ここでx=0とおくと

　　1/X = -X / (X)^2

即ちベクトルXの逆数は方向が反対で大きさはXの大きさの逆数となるベクトルです。

ベクトルの逆数をそれよりも一般的なベクトルスカラーなる代数系で定義される逆数の特殊な場合とし

て求める事ができました。現在この代数系をあれこれいじって楽しんでいます。関心のある方はお知ら

せ下さい。

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