ＰＢＭとは「play-by-mail（プレイ・バイ・メール）」の略称で、郵便を使って行うゲームのことです。
（メイルゲームと呼ばれることもあります。）
ここでは狭義として「手紙を使って行うＲＰＧ（ロールプレイングゲーム／「役割を演じる遊び」の意味）」のことを指しています。
プレイヤーはそれぞれオリジナルのキャラクターを作成し、文章で「行動（アクション）」を書いて運営者に送ります。
マスターはそれをもとに「判定」を行い、小説のような「お話」というかたちで結果を書き起こし、各プレイヤーに送り返します。
これを何回か繰り返し、プレイヤーとマスターの共同作業でひとつのお話を作っていくわけです。
ゲームの規模によっても変わりますが、大抵の場合はひとつのシナリオに２桁のプレイヤーが参加します。
ネット環境の普及に伴い、最近は「ＰＢｅＭ（play-by-e-mail）」や「ＰＢＷ（play-by-web）」というスタイルのゲームも増えてきました。
前者は行動結果が郵便（紙媒体）ではなくＥメールで送付されてくるもの、
後者はＷＥＢ上で発表されるもの（ログイン制で参加者以外は閲覧できません）のことを指します。
いずれの場合も、企業が有料で運営する通称「商業ＰＢＭ」と、個人もしくは有志が無料ないし実費のみで運営する「同人ＰＢＭ」とがあります。
また、基本は紙媒体の送付で、希望者のみＥメールで先行して内容を送付するサービス（大抵は別料金）を行うところもあるようです。
最近ＰＢＣ(play-by-chat)と呼ばれるものがあるようですが、こちらは（多分）ＰＢＭとは全くの別物です。
参加したことが無いので説明書きから読み取っただけですが、ＰＢＣとは「自分が演じるキャラクターを事前に登録し、そのキャラクターになりきってチャットを楽しむ」のが目的の遊びのようです。
ＰＢＭのＰＬが集まるコミュニティサイトに設置されているチャットの中には「ＰＣになりきっての会話」を推奨（もしくはそれ以外を禁止）しているところも少なくありませんが、こちらはあくまでサブ的な楽しみ方であり、主旨を考えるとＰＢＣとは似て非なるものです。
ＰＢＭの定義は、上記のとおり「行動を文章にしたためて運営側に送る」「結果が文章になって返ってくる」ところにあります。
混同してＰＢＣサイトさんに突撃すると痛い目を見ることになるかもしれませんので、事前によく確認してくださいね。
■ＰＢＭでよく使用される略称例
ＰＬ ⇒プレイヤー／ゲームに参加するユーザー
ＰＣ ⇒プレイヤーキャラクター／プレイヤーがゲームに登録して演じるキャラクター
ＮＰＣ⇒ノンプレイヤーキャラクター／ゲーム内に登場するゲストキャラクター（マスターが動かします）
リア ⇒リアクション／運営側から返送される、行動結果を小説風に表したもの。
運営元によって「テイル」「ノベル」等の名称が用いられることもあります。